Tentang Matematika: Macam-macam Turunan dan Soal Turunan

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

adalah simbol untuk turunan pertama.
adalah simbol untuk turunan kedua.
adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain

dan

adalah

dan

TURUNAN PERTAMA
Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :
1. Jika diketahui

dimana C dan n konstanta real, maka

Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui y=C dan

Perhatikan contoh berikut :

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’
contoh :

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :
a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !
Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5
b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !
Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6×-24=3(x²+2×-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.
F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.
c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24×-7 !
Jawab :
y’=3x²-6×-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka
3x²-6×-24 = 0
(x²-2×-8)=0
(x-4)(x+2)=0
x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :
f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :
f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :

Perhatikan contoh berikut :

Jawab :

Soal – Soal Turunan Fungsi Semester 2 SMA IPA KELAS XI

Soal 1.

Y = x² – 5x + 6, tentukanlah dy/dx dari fungsi tersebut…?

Jawab :

Y’ = 2x – 5x

Soal 2.

f (x) = x³ – 3x² + 1

f’ (2) =…

Jawab :

F (x) = x³ – 3x² + 1

F’(x) = 3x² – 6x

f’(2) = 3(2)² – 6(2)

f’(2) = 0

Soal 3.

f(x) = 2x

+ x

f’(x) = …..?

Jawab :

f (x) = 2x

+ x

= 2x . x^1/2 + x

= 2x^3/2 + x

f’(x) = 3 x^1/2 + 1

f’(x) = 3

+ 1

Soal 4.

Y = 3

, tentukanlah turunan dari fungsi tersebut!

Jawab :

y = 3.x^-4

y’ = -12 x^-5

= -12/x⁵

Soal 5.

f(x) = x

, tentukanlah turunan pertama dari fungsi tersebut?

jawab :

f(x) = x. X^1/2 + x³. X^1/2 + x

= x^3/2 + x^7/2 +x

f’(x) = 3/2 x^1/2 + 7/2 x^5/2 + 1

f’(x) = 3/2

Soal 6.

f(x) = x

, tentukanlah turunan pertama dari fungsi tersebut?

jawab :

f(x) = x.x^1/2

= x^3/2

f’(x) = 3/2 x^1/2

f’(x) = 3/2

Soal 7.

f(x) = x²/ x + 1, tentukanlah turunan pertama dari fungsi tersebut?

Jawab :

Jika menemukan soal seperti ini, maka gunakanlah rumus sebagai berikut…

f(x) = U/V

= U’ . V – U. V’/V²

U = x²

U’ = 2x

V = x + 1

V’ = 1

Jadi, f(x) = u/v

f’(x) = U’ . V – U. V’/V²

f’(x) = 2x . (x+1) – x². 1 / (x+1)²

f’(x) = 2x² + 2x – x²/(x+1)²

f’(x) = x² + 2x/(x+1)²

Soal 8.

f(x) = 3

, berapa nilai f’(1) =…?

jawab :

dari fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x) = 3 x^2/3 + 8 x^5/4

f’(x) = 2 x^-1/3 + 10 x^1/4

f’(1) = 2/x^1/3 + 10

= 2/(1)^1/3 + 10

= 2 + 10

f’(1) = 12

Soal 9.

f (x) = (2x³ – 5) (x⁵ + 2)

jawab :

untuk menjawab soal tersebut harus menggunakan rumus:

f’(x) = U’ . V + U. V’

U = 2X³ – 5

U’ = 6X²

V = x⁵ + 2

V’ = 5x⁴

f’(x) = U’ . V + U. V’

f’(x) = (6x²) . (x⁵ + 2) + (2X³ – 5) (5x⁴)

= 6x⁷ + 12x²+ 10x⁷ – 25x⁴

f’(x) = 16x⁷ – 25x⁴ + 12x²

soal 10.

F(x) = 3x² + x -1/x + 2/x², tentukanlah turunan pertama dari fungsi tersebut?

Jawab :

= 3x² + x – x^-1 + 2x^-2

f’(x) = 6x + 1 + x^-2 – 4x^-3

f’(x) = -4/x³ + 1/x² + 6x + 1

Soal No. 11
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
b) f(x) = 2x³ + 7x
Pembahasan
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axⁿ

Sehingga:
a) f(x) = 3x⁴ + 2x² − 5x
f '(x) = 4⋅3x^{4− 1} + 2⋅2x²⁻¹ − 5x^1-1
f '(x) = 12x³ + 4x¹ − 5x⁰
f '(x) = 12x³ + 4x − 5

b) f(x) = 2x³ + 7x
f '(x) = 6x² + 7

Soal No. 12
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 10x
b) f(x) = 8
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 10x
f(x) = 10x¹
f '(x) = 10x¹⁻¹
f '(x) = 10x⁰
f '(x) = 10

b) f(x) = 8
f(x) = 8x⁰
f '(x) = 0⋅ 8x⁰⁻¹
f '(x) = 0

c) f(x) = 12
f '(x) = 0

Soal No. 13
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Pembahasan
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
f(x) = 10x² + 20x
f ' (x) = 20x + 20

b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

Urai terlebih dahulu hingga menjadi
f (x) = 10x² + 8x + 15x + 12
f (x) = 10x² + 13x + 12

Sehingga
f ' (x) = 20x + 13

Soal No. 14
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)
c)

Soal No. 15
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)
b)
c)

Pembahasan

a)
b)

Soal No. 16
Diketahui

Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ' (0) =...
A. − 10
B. − 9
C. − 7
D. − 5
E. − 3
(Soal UN 2008)

Pembahasan
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah